Devoir de Contrôle N°1- Math - Bac Sciences exp (2016-2017)
LS El Alia DEVOIR DE CONTROLE N°1 AS : 2016/2017 Prof: Tlich Ahmed (Bac science) Durée: 2h
Exercice n°1 :72362(1)40iiziezeππ−++= ( 7 points) On considère dans C l’équation (E) : 1) a) Vérifier que 032izeπ= est une solution de (E). b) Déduire l’autre solution de (E). 2) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O,vu,). On considère les points A, B et C d’affixes respectifs : 32AiZeπ= , 1222iBZeπ= et 652CiZeπ= a) Construire les points A et C. b) Vérifier que CAZiZ= puis déduire la nature du triangle OAC. c) Ecrire (1-i) sous forme exponentielle puis déduire que : (1)ABiZZ−= d) Montrer que OBAC est un parallélogramme puis construire le point B. 3) a) Ecrire ZB12Cosπ sous forme algébrique. b) Déduire les valeurs de et 12Sinπ 4) Construire le cercle (C) de centre O et de rayon 22.La perpendiculaire à (OB) passant par O coupe le cercle (C) en un point D d’affixe ZD dont sa partie imaginaire est positive. a) Justifier que ZD = i ZB. b) Montrer que OAD C est un carré. Exercice n°2 :]0,[+∞ ( 7 points) Soit la fonction définie sur par 222101()101xsixxfxxCosxsixx−≥+=
−+ 1) Montrer que f est continue en 0. 2) a) Montrer que pour tout x],0[∈−∞on a : 221()111xxfxxx−−≤≤−++ b) Déduire()limxfx→→−∞. 3) a) Monter que (x)1limxf→→+∞= b) Calculer ces limites : 12()1limxxfx+→→−− 2()1limxxfx→→+∞+ 2(x1)limxf→→−∞+
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4) On suppose que f est strictement croissante sur[[0,+∞. a) Montrer l’équation f(x) =0 admet dans [0,[+∞ une unique solution α dans [[0,+∞ puis vérifier que : 0,57 < α < 0,58 b) Déduire le tableau de signe de f(x) sur [0,[+∞ c) Montrer que α vérifie 212αα+= 5) On considère les deux fonctions g et h définie sur [0,[+∞ par g(x) =21x+ et h(x) =2x. a) Vérifier que pour tout [0,[x∈+∞ : h()(x)()()xgfxgx−= b) Etudier la position relative des courbes des fonctions g et h sur[0,[+∞. Exercice n°3 :()nU( 6 points) Soit la suite définie sur IN par : 02U= et 122nnnUUU+=+ 1) a) Montrer que pour tout n on a : 02nU≤≤ . b) Montrer que()nU est décroissante. c) Déduire que ()nU est convergente puis calculer sa limite. d) Montrer par récurrence que pour tout n on a : 21nUn=+ 2) Soit la suite ()nS définie sur IN par : 01230(1)...(1)nKnnKnKSUUUUUU==−=−+−++−Σ a) Montrer que :2222221nnnnSSUU+++−=− puis déduire que la suite 2()nS est décroissante. b) Montrer que la suite 21()nS+ est croissante. c) Montrer que pour tout n on a : 212nnSS+≤ d) Déduire que les suites 2()nS et 21()nS+ sont adjacentes. e) Déduire que la suite ()nS converge vers un réel L puis vérifier que 12L≤≤. Bon travail
Exercice n°1 :72362(1)40iiziezeππ−++= ( 7 points) On considère dans C l’équation (E) : 1) a) Vérifier que 032izeπ= est une solution de (E). b) Déduire l’autre solution de (E). 2) Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O,vu,). On considère les points A, B et C d’affixes respectifs : 32AiZeπ= , 1222iBZeπ= et 652CiZeπ= a) Construire les points A et C. b) Vérifier que CAZiZ= puis déduire la nature du triangle OAC. c) Ecrire (1-i) sous forme exponentielle puis déduire que : (1)ABiZZ−= d) Montrer que OBAC est un parallélogramme puis construire le point B. 3) a) Ecrire ZB12Cosπ sous forme algébrique. b) Déduire les valeurs de et 12Sinπ 4) Construire le cercle (C) de centre O et de rayon 22.La perpendiculaire à (OB) passant par O coupe le cercle (C) en un point D d’affixe ZD dont sa partie imaginaire est positive. a) Justifier que ZD = i ZB. b) Montrer que OAD C est un carré. Exercice n°2 :]0,[+∞ ( 7 points) Soit la fonction définie sur par 222101()101xsixxfxxCosxsixx−≥+=
−+ 1) Montrer que f est continue en 0. 2) a) Montrer que pour tout x],0[∈−∞on a : 221()111xxfxxx−−≤≤−++ b) Déduire()limxfx→→−∞. 3) a) Monter que (x)1limxf→→+∞= b) Calculer ces limites : 12()1limxxfx+→→−− 2()1limxxfx→→+∞+ 2(x1)limxf→→−∞+
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4) On suppose que f est strictement croissante sur[[0,+∞. a) Montrer l’équation f(x) =0 admet dans [0,[+∞ une unique solution α dans [[0,+∞ puis vérifier que : 0,57 < α < 0,58 b) Déduire le tableau de signe de f(x) sur [0,[+∞ c) Montrer que α vérifie 212αα+= 5) On considère les deux fonctions g et h définie sur [0,[+∞ par g(x) =21x+ et h(x) =2x. a) Vérifier que pour tout [0,[x∈+∞ : h()(x)()()xgfxgx−= b) Etudier la position relative des courbes des fonctions g et h sur[0,[+∞. Exercice n°3 :()nU( 6 points) Soit la suite définie sur IN par : 02U= et 122nnnUUU+=+ 1) a) Montrer que pour tout n on a : 02nU≤≤ . b) Montrer que()nU est décroissante. c) Déduire que ()nU est convergente puis calculer sa limite. d) Montrer par récurrence que pour tout n on a : 21nUn=+ 2) Soit la suite ()nS définie sur IN par : 01230(1)...(1)nKnnKnKSUUUUUU==−=−+−++−Σ a) Montrer que :2222221nnnnSSUU+++−=− puis déduire que la suite 2()nS est décroissante. b) Montrer que la suite 21()nS+ est croissante. c) Montrer que pour tout n on a : 212nnSS+≤ d) Déduire que les suites 2()nS et 21()nS+ sont adjacentes. e) Déduire que la suite ()nS converge vers un réel L puis vérifier que 12L≤≤. Bon travail
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